Resuelve cada uno de los siguientes
ejercicios, aplicando la ley de cosenos:
NOTA:La fecha de entrega será el día VIERNES 24 de ABRIL del 2020 hasta las 23:59, enviando una fotografía de la actividad concluida con nombre del alumno y firma del tutor, al correo arcos105@hotmail.com actividad mandada después de la hora establecida se considerara como entregada fuera de tiempo y bajara su valor. En físico se revisara el primer día de clases después de la contingencia.
En un triángulo oblicuángulo, el cuadrado
de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados,
menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman:
Esta
expresión conocida como ley de cosenos puede ser enunciada como:
Por consiguiente, esta ley aplica para:
Para encontrar un tercer lado si se
conocen los otros dos lados y el ángulo que se forma entre ellos.
Para encontrar los tres ángulos
interiores si se conocen los tres lados.
Nota: en algunos ejercicios podría ser
necesario utilizar ambas leyes (senos y cosenos) para resolver el triángulo.
Observa los siguientes ejemplos:
1.- Se desea calcular el lado “b” del triángulo oblicuángulo mostrado.
a = 45
b = b
c = 25
∡A = A
∡B = 100°
∡C = C
Utilizando ley de cosenos para determinar
lado “b” tenemos:
2.-
Se tiene el
triángulo ABC, cuyos lados miden a = 4, b = 5 y c = 8 cm. Determinar los
ángulos interiores del triángulo. Una manera práctica de determinar los ángulos
es despejando la expresión original:
Resuelve
cada uno de los siguientes ejercicios aplicando la ley de senos:
NOTA:La fecha de entrega será el día VIERNES 24 de ABRIL del 2020 hasta las 23:59, enviando una fotografía de la actividad concluida con nombre del alumno y firma del tutor, al correo arcos105@hotmail.com actividad mandada después de la hora establecida se considerara como entregada fuera de tiempo y bajara su valor. En físico se revisara el primer día de clases después de la contingencia.
De acuerdo a la medida de sus ángulos,
todo triángulo puede ser clasificado, en triángulo rectángulo o triángulo
oblicuángulo.
Un
triángulo rectángulotiene un ángulo
recto o de 90°.
Un
triángulo oblicuángulono
contiene ningún ángulo recto, es decir, puede tener tres ángulos agudos
(acutángulo) o un ángulo obtuso y dos ángulos agudos (obtusángulo).
Para resolver los triángulos
oblicuángulos podemos utilizar dos importantes leyes trigonométricas: ley
de senos y ley de cosenos.
Nota:no podemos
utilizar las razones trigonométricas seno, coseno o tangente como lo aplicamos en
la resolución de triángulos rectángulos.
Ley
de senos
En un triángulo oblicuángulo se cumple
que la razón entre cualquiera de sus lados y el seno del ángulo opuesto a éste,
es una constante, es decir, dado el triángulo:
Las letras en minúsculas corresponden a los lados
y las mayúsculas a los ángulos.
La forma de usar esta expresión es
mediante la construcción de una proporción (la igualdad de dos de las tres
razones), por ejemplo:
Por consiguiente, esta
ley aplica:
Cuando se conocen dos ángulos y un lado.
Cuando se conocen dos lados y un ángulo.
Con la condición
de que uno de esos lados y su ángulo opuesto sean conocidos.
Observa el
siguiente ejemplo:
Se desea calcular
los lados a y b del triángulo oblicuángulo mostrado.
Se
sustituyen los valores de la expresión de la ley de los senos:
Se
eligen solo dos razones en donde quede una incógnita, si las tres tienen si las
tres tienen incógnitas entonces se utiliza la ley de los cosenos.
Recuerda
que un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos que son
complementarios. Los lados perpendiculares se llaman catetos y el mayor de los lados se denomina hipotenusa.
Tomando
como referente el triángulo rectángulo ∡ABC
de la siguiente figura,
se pueden establecer seis razones entre sus lados, siendo
éstas:
Las razones establecidas dependen
del valor del ángulo ∡A y no de
las medidas de los lados del triángulo.
Las razones surgen de la relación
entre dos lados de un triángulo rectángulo y un ángulo interior en una razón
matemática. Para entender el comportamiento de estas funciones es necesario
recordar algunos conceptos importantes:
1. Un triángulo rectángulo tiene
dos lados perpendiculares entre sí: a y b, que forman un ángulo recto (cuya
medida es de 90°). Estos lados se denominan catetos del triángulo.
2. El tercer lado: c, opuesto al
ángulo recto, se denomina hipotenusa del triángulo y su medida es mayor que la
de los catetos: c > a, c > b.
3. Los triángulos rectángulos
tienen un ángulo interior de 90° y dos ángulos agudos complementarios (suman 90°):
∡A + ∡B = 90°.
4. Para cualquiera de los ángulos
agudos, un cateto es opuesto y el otro cateto es adyacente:
Para ∡A: el cateto a es opuesto y el
cateto b es adyacente.
Para ∡ : el cateto b es opuesto y el
cateto a es adyacente.
5. Los lados se relacionan
mediante el teorema de Pitágoras, que enuncia que “la suma de los cuadrados de
los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”:
c2 =a2 +b2
Si tomamos el triángulo de la imagen y como base al ángulo α,
como se muestra en la figura, tenemos las siguientes razones de dos lados:
Ángulos
de elevación y de depresión
El término ángulo de elevación denota al ángulo desde
la horizontal hacia arriba a un objeto. Una línea de vista para el observador
estaría sobre la horizontal.
El término ángulo de depresión denota al ángulo
desde la horizontal hacia abajo a un objeto. Una línea de vista para el
observador estaría debajo de la horizontal.
Dadas las siguientes situaciones,
haz el diagrama correspondiente, indica la función trigonométrica que ayudará a
solucionar el problema y despeja la incógnita que se busca.
1.-
Una escalera está apoyada en la pared, el ángulo en la base es de 50º, la
escalera mide 4m. ¿A qué distancia de la base hacia la pared está la escalera?
2.- Determina el área de
un triángulo isósceles si se sabe que el ángulo de la cúspide mide 50° y cada
lado igual mide 14 cm.
3.- El ángulo de elevación de una persona que
observa un ave en el cielo es de 75°. Si la distancia de la persona al ave es
de 350 m. ¿A qué altura se encuentra el ave?
4.- Un poste de alumbrado
se mantiene vertical con la ayuda de un tensor, sujeto a 3 m del pie del poste.
Si el ángulo del cable que lo sujeta forma un ángulo de 32°, con respecto al
suelo, ¿cuál es la longitud del poste?
5.- La hipotenusa del
triángulo mide 12 y uno de sus ángulos agudos 40°. Determina la medida de los
catetos.
6.- La cantidad de cuerda
empleada en el momento del vuelo de una cometa es de 120 m. Si el ángulo de
elevación de la cometa en ese momento es de 40°30’. ¿A qué altura se encuentra
la cometa? NOTA:La fecha de entrega será el día VIERNES 24 de ABRIL del 2020 hasta las 23:59, enviando una fotografía de la actividad concluida con nombre del alumno y firma del tutor, al correo arcos105@hotmail.com actividad mandada después de la hora establecida se considerara como entregada fuera de tiempo y bajara su valor. En físico se revisara el primer día de clases después de la contingencia.
